TEOREMA DEL SENO Y COSENO

 TEOREMA DEL SENO    

El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

 Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces

EJEMPLO

EJERCICIO. 

TEOREMA DEL COSENO

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

 Este teorema es utilizado para resolver un triángulo Cuando:  

·         Conocemos los tres lados.

·         Dos lados y el ángulo que forman.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y, a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces

EJEMPLO:

POLIEDROS

 

Los poliedros son cuerpos que se caracterizan, por estar limitados por regiones poligonales denominadas caras y por estar formados por un número finito de caras. Entre estos están los Primas y las Pirámides.

    EL PRISMA

EL AREA LATERAL TOTAL A_L: Es la suma de las áreas de las caras laterales

EL AREA DE LAS BASES A_B: Es la suma de las áreas de las 2 bases

AREA TOTAL:  Es la suma de las áreas laterales  +  Área de las bases

VOLUMEN DEL PRISMA:  Es el  producto del área de la base por la altura

 

Se tiene un prisma hexagonal (la base es un hexágono)

Como vemos, este prisma hexagonal tiene 6 caras laterales que son rectángulos y 2 bases que son hexágonos.

El área lateral de un prisma es la suma de las áreas de sus caras laterales (los 6 rectángulos).

Las 6 caras laterales forman un rectángulo cuya base es el perímetro del hexágono de la base.

 Por tanto, el área lateral del prisma es igual al producto del perímetro de la base por la altura:

Área lateral = perímetro de la base x altura

Como las bases son polígonos:  El área de un polígono regular se calcula a partir de su perímetro y su apotema.

Área total = Área lateral + Área de la base * 2

 El volumen de Prisma:  Área de la base * Altura

 

EJEMPLO

 Calcula el área y el volumen de un prisma cuadrangular en el que su la arista de la base mide 4 dm y su altura es de 11 dm.

 

AREA LATERAL: perímetro de la base x altura

A_L = (4*4)*11

A_L = 176 dm²

A_b = 4*4 = 16 dm²

A_t =  176 dm² + 2(16 dm² ) = 208 dm²

Volumen= Área de la base * Altura

V=  16 dm² * 11 dm = 176 dm³

             LA PIRAMIDE

El área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura de una cara lateral (A_P o apotema) de la pirámide y dividido entre 2.

VOLUMEN DE UNA PIRAMIDE

RAZONES TRIGONOMETRICAS EN UN TRIANGULO RECTANGULO

 

Solución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo consiste en calcular la medida de sus tres lados y de sus tres ángulos. ¿Qué herramientas se pueden utilizar para resolver un triángulo rectángulo?. ... La suma de los dos ángulos agudos es 90º. La suma de dos lados siempre es mayor que el otro lado,  Se puede aplicar el Teorema de Pitágoras, la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre es igual a 180^o, también se puede utilizar las razones trigonométricas

Miremos los siguientes ejemplos:

https://www.edu.xunta.gal/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491480499/contido/ud10_trigonometria_I/71_usando_trigonometra.html

PROGRESIONES GEOMETRICAS

 Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que cada término a_n se obtiene multiplicando al término anterior a_n−1 por un número r llamado razón. La razón de una sucesión geométrica se denota por r y debe ser constante en toda la sucesión.

Ejemplo

La sucesión de las potencias de 2 es una sucesión geométrica con razón r=2  (2,4,8,16,…)

 

El término general de esta sucesión es   
 

La razón de una progresión geométrica se calcula dividiendo términos consecutivos:

EJERCICIO

SUCESIONES O PROGRESIONES ARITMETICAS

 SUCESIONES ARITMETICAS

Es una sucesión de números reales tales que la diferencia de cualquier par de términos consecutivos es constante (siempre es igual al mismo valor). La sucesión  es aritmética de diferencia d si cumple que para todo n,  a_n+1 – a_n = d 

Ejs:  la Sucesión 3,5,7,9,11,13…. Es aritmética   porque 5-3 =2;    7-5 = 2;     9-7=2;    en todos siempre dá 2

Si el primer término a1 y la diferencia d son conocidos, entonces,  El término general de la sucesión aritmética es an = a1 + (n-1)d

Suma de n términos en una sucesión aritmética Conociendo el primer término y el término n-ésimo de la sucesión, podemos calcular la suma de los n primeros términos con la fórmula

 

 

SUCESIONES

Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos, que se designan con una letra y un subíndice que se corresponde con el lugar que ocupan. Los números a₁, a₂ , a₃ , ... se llaman términos de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

Ejs:  1,3,5,7 …   cuyo término general es:   a_n = 2n – 1

Por el término general  (Reemplazamos la n por los números naturales 1,2,3,4,….)

Ejs1:          a_n = 2n – 1                                                     Ejs2:          a_n = 5n + 1

a₁ = 2 · 1 – 1 = 1                                                                                a₁ = 5 · 1 + 1 = 6

a₂ = 2 · 2 – 1 = 3                                                                               a₂ = 5 · 2 +1 = 11

a₃ = 2 · 3 – 1 = 5                                                                               a₃ = 5 · 3 + 1 = 16

a₄ = 2 · 4 – 1 = 7                                                                               a₄ = 5 · 4 + 1 = 21

CLASIFICACION DE ANGULOS

 

CLASIFICACION DE ANGULOS

 

Según su magnitud, los ángulos se clasifican en:

 

Ángulos Rectos: Su magnitud es de 90^o y se denota con un pequeño rectángulo en el vértice

Ángulo Agudo: Su magnitud es menor de 90^o

Ángulo Obtuso: Su magnitud es mayor que 90^o sin llegar a 180^o

Ángulo Colineal o llano: Se magnitud es igual a 180^o

Ángulo Entrante: Su magnitud es mayor que 180^o sin llegar a 360^o

Ángulo Perígono: Su magnitud es igual a 360^o

Según su posición, los ángulos se clasifican en:

Ángulos Consecutivos: Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado común y están en un mismo plano

Ángulos Complementarios: Son  dos ángulos que suman 90^o

Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos que suman 180^o

Ángulos Conjugados: Son dos ángulos que suman 360^o

Ejs.  El ángulo conjugado de 120^o  es  240⁰

 

         Ya que si sumamos 120^o + 240^o = 360^o