TEOREMA DEL SENO Y COSENO

 TEOREMA DEL SENO    

El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

 Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces

EJEMPLO

EJERCICIO. 

TEOREMA DEL COSENO

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

 Este teorema es utilizado para resolver un triángulo Cuando:  

·         Conocemos los tres lados.

·         Dos lados y el ángulo que forman.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y, a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces

EJEMPLO:

POLIEDROS

 

Los poliedros son cuerpos que se caracterizan, por estar limitados por regiones poligonales denominadas caras y por estar formados por un número finito de caras. Entre estos están los Primas y las Pirámides.

    EL PRISMA

EL AREA LATERAL TOTAL A_L: Es la suma de las áreas de las caras laterales

EL AREA DE LAS BASES A_B: Es la suma de las áreas de las 2 bases

AREA TOTAL:  Es la suma de las áreas laterales  +  Área de las bases

VOLUMEN DEL PRISMA:  Es el  producto del área de la base por la altura

 

Se tiene un prisma hexagonal (la base es un hexágono)

Como vemos, este prisma hexagonal tiene 6 caras laterales que son rectángulos y 2 bases que son hexágonos.

El área lateral de un prisma es la suma de las áreas de sus caras laterales (los 6 rectángulos).

Las 6 caras laterales forman un rectángulo cuya base es el perímetro del hexágono de la base.

 Por tanto, el área lateral del prisma es igual al producto del perímetro de la base por la altura:

Área lateral = perímetro de la base x altura

Como las bases son polígonos:  El área de un polígono regular se calcula a partir de su perímetro y su apotema.

Área total = Área lateral + Área de la base * 2

 El volumen de Prisma:  Área de la base * Altura

 

EJEMPLO

 Calcula el área y el volumen de un prisma cuadrangular en el que su la arista de la base mide 4 dm y su altura es de 11 dm.

 

AREA LATERAL: perímetro de la base x altura

A_L = (4*4)*11

A_L = 176 dm²

A_b = 4*4 = 16 dm²

A_t =  176 dm² + 2(16 dm² ) = 208 dm²

Volumen= Área de la base * Altura

V=  16 dm² * 11 dm = 176 dm³

             LA PIRAMIDE

El área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura de una cara lateral (A_P o apotema) de la pirámide y dividido entre 2.

VOLUMEN DE UNA PIRAMIDE