CONJUNTO DE NUMEROS REALES

 

LOS NUMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

Un Número racional

 Es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero, se representa por Q.

   

 Ubicar números racionales (Q) en la recta numérica

Los siguientes son los números racionales (Q), que incluyen a los enteros y los naturales además de los decimales, son todos aquellos que se pueden expresar en forma de fracción.

Es muy fácil, pasamos el Racional (fraccionario) a decimal y se localiza el punto en la recta numérica

Por otro lado, si es positivo, se localizará a la derecha del 0 y si es negativo a la izquierda. Así:

 

 

 

 

ECUACIONES LINEALES

 

Una ecuación es una igualdad que tiene una o más cantidades desconocidas, llamadas incógnitas. Por ejemplo:  expresiones como:   +

•           7x = 21
•       3x +6y = 4

   La solución de una ecuación es el valor numérico por el cual se puede reemplazar la incógnita para que la igualdad sea verdadera. Para resolver ecuaciones, se realiza transposición de términos, que no es más que la aplicación sucesiva de la propiedad uniforme de las igualdades. Las ecuaciones pueden tener paréntesis para indicar productos entre expresiones algebraicas y algunos coeficientes racionales pueden estar en fracción o en decimales. La situación problemática también puede originar cocientes entre expresiones y el uso de la adición o de la sustracción entre productos o cocientes de expresiones algebraicas.

DESPEJE DE ECUACIONES

Para despejar ecuaciones de primer grado deberemos seguir estos pasos:

·          

·         Reconocer que X es la variable o valor desconocido el cual hay que despejar y calcular. (puede ser cualquier otra letra).

·         Tenemos que recordar que todos los términos que están multiplicando en un lado, pasan al otro lado del igual dividiendo y los que están dividiendo pasan al otro lado del igual multiplicando.

·         En cuanto a los términos que están sumando pasan al otro lado del igual restando y los que están restando pasan al otro lado del igual sumando.

·         Queda despejada una incógnita cuando está sola a un lado de la igualdad con coeficiente 1 y signo positivo.

CLASES 2021- GRADO NOVENO

NIVELACION FINAL ALGEBRA DE NOVENO

 Para la nivelación deberán realizar el siguiente proyecto, e ir entregando por partes al docente, según sea solicitado. 

OBSERVE ELSIGUIENTE VIDEO EXPLICATIVO   

NIVELACION FINAL DE ALGEBRA DE OCTAVO

Para la nivelación deberán realizar el siguiente proyecto, e ir entregando por partes al docente, según sea solicitado. 

Observa el siguiente video explicativo  

FACTORIZACION DE BINOMIOS

 

FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS

1.      Factorización de la diferencia de dos cuadrados

Una diferencia de cuadrados corresponde a un producto notable, en consecuencia para factorizar una diferencia de cuadrados se obtiene el producto de dos binomios donde el primer término de cada binomio será la raíz cuadrada del primer término y el segundo término de cada binomio corresponde a la raíz cuadrada del segundo término de la diferencia. Uno de esos binomios sumará sus términos, mientras el otro los restará.

2.      Diferencia de cubos

Cualquier diferencia de cubos puede factorizarse de la siguiente manera:

1. Se extrae la raíz cubica del primer término y también del segundo.

2. Luego se escriben dos paréntesis el primero con la resta de las raíces y el segundo de la forma siguiente, la primera raíz al cuadrado más el producto de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz, como se indica a continuación:

  

3. Suma de cubos

Cualquier suma de cubos puede factorizarse de la siguiente manera:

1. Se extrae la raíz cubica del primer término y también del segundo.

2. Luego se escriben dos paréntesis el primero con la suma de las raíces y el segundo de la forma siguiente, la primera raíz al cuadrado menos el producto de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz, como se indica a continuación:

 5. Regla de Cramer: proporciona la solución de sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una única solución) mediante el cálculo de determinantes. Se trata de un método muy rápido para resolver sistemas, sobre todo, para sistemas de dimensión 2x2 y 3x3. Para dimensiones mayores, los determinantes son bastante más engorrosos.

Recuerden que un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como

donde

·         A es la matriz de coeficientes del sistema,

·         X es la matriz con las incógnitas,

·         B es la matriz con los términos independientes de las ecuaciones.

Para poder aplicar Cramer, la matriz A tiene que ser cuadrada y regular (determinante distinto de 0).

VEAMOS LA SIGUIENTE EXPLICACION

 4. Método gráfico: Consiste en graficar las rectas que conforman el sistema de ecuaciones lineales en el mismo plano cartesiano, para determinar las coordenadas (x,y) del punto donde se cortan dichas rectas.

Al graficarlo se pueden presentar tres casos

Caso 1

Las rectas se cortan en un solo punto. Esto significa que el sistema tiene única solución, dada por los valores x, y que son coordenadas del punto de corte.

                                                                               En la figura la solución grafica del sistema 2x2 está                                                                                     dada por x=-1, y=-1 

                                                                               Lo cual corresponde a las coordenadas del punto de                                                                                     corte de las dos rectas.

Caso 2

 El sistema no tiene solución.  Las rectas son paralelas y no se cortan El sistema no tiene solución.  Las rectas son paralelas y no se cortan

Caso 3

Infinitas soluciones. Las rectas son coincidentes por lo tanto se cortan en infinitos puntos

VEAMOS COMO SE RESUELVE UN SISTEMA POR EL METODO GRAFICO

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado.

Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

En esta guía resolvemos sistemas de dos ecuaciones (lineales) con dos incógnitas mediante los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado.

1.  METODO DE SUSTITUCION:  consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, calculamos el valor de x sustituyendo el valor de y que ya conocemos.

Ejemplo: 

2.  METODO DE REDUCCION O ELIMINACION: consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

3.    METODO DE IGUALACION:    Consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

 

 

 

FACTORIZACION DE TRINOMIOS

 1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un polinomio es un trinomio cuadrado perfecto, si el primero y el tercer término son cuadrados perfectos (es decir que tengan raíz cuadrada) y si el producto de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del tercer término nos da como resultado el valor absoluto del segundo término del polinomio original.

Ejemplo

Factorizar

Proceso:

1. Hallar la raíz cuadrada del primer término 

2. Hallar la raíz cuadrada del tercer término 

Comprobamos que dos veces la raíz del primer término por la raíz del segundo término es igual en valor absoluto al segundo 

 Luego la factorización del trinomio es la suma o la resta de esas dos raíces, según el signo del segundo término:

VEAMOS UN EJEMPLO:

               

.    2. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA   x² + bx + c

El trinomio de la forma  x² + bx + c  se puede descomponer en dos factores binomios siguiendo el siguiente proceso.

  

Ejemplo

Factorizar

 a. Hallar dos factores cuyo producto de como resultado el primer término   X.X

b. Hallar los divisores del tercer término, tal que su producto sea igual al tercer término y su suma igual al coeficiente numérico del segundo término.  Luego, los divisores de 5 son 1 y 5 (por ser número primo), por lo tanto, su producto puede ser:

1⋅5  o    −1⋅−5    o    1⋅5     o   −1⋅−5

Pero la suma debe ser +6, entonces los números serán +1 y +5. Se escribe la factorización como el producto de dos binomios cuyo primer término en cada caso sean los factores del primer término del trinomio y el segundo término en cada caso sean los factores del tercer término del trinomio, precedidos de su signo, con ello obtenemos:

VEAMOS UN EJEMPLO:

3.  FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA  ax² + bx + c

             Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:

1. El coeficiente del primer término es diferente de 1.

2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad.

3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

Ejemplo

Factorizar:  

Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del primer término.

Se resuelve el producto del primer y tercer término dejando indicado el del segundo término.  

Se factoriza como en el caso del trinomio de la forma x2 + bx + c, o sea, se buscan dos números que multiplicados de 60 y sumados 23. (Se suman por que los signos de los dos factores son iguales)

 Se factorizan los dos binomios resultantes sacándoles factor común monomio, se descompone el 15 y por último dividir.

 VEAMOS UN EJEMPLO: