FACTORIZACIÓN

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FORMAS DE ECUACIONES DE UNA RECTA

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COCIENTES NOTABLES

Funciones y Ecuaciones Lineales

pueden ampliar el tema aquí:   https://www.youtube.com/watch?v=AoZpzAoC1Qg

Tenemos algunas rectas especiales: Fijémonos en las ecuaciones:

PENDIENTE DE UNA RECTA: 

En matemáticas se denomina pendiente a la inclinación de una recta respecto de la horizontal. La representamos por la letra m.

Si tenemos la ecuación de la recta:   y=mx+b       La pendiente es m (la parte numérica de x)

Ejs:  y= 3x -2        La pendiente es m=3

Ejs:  y= -x +7        La pendiente es m = -1

 

Si tenemos dos puntos de una recta podemos hallar la pendiente que pasa por los puntos (x₁, y₁)  y  (x₂, y₂)

  
       

Ejemplo:

La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación es una igualdad que tiene una o más cantidades desconocidas, llamadas incógnitas: Por ejemplo expresiones como:

   

La solución de una ecuación es el valor numérico por el cual se puede reemplazar la incógnita para que la igualdad sea verdadera. Para resolver ecuaciones, se realiza transposición de términos, que no es más que la aplicación sucesiva de la propiedad uniforme de las igualdades. Las ecuaciones pueden tener paréntesis para indicar productos entre expresiones algebraicas y algunos coeficientes racionales pueden estar en fracción o en decimales. La situación problemática también puede originar cocientes entre expresiones y el uso de la adición o de la sustracción entre productos o cocientes de expresiones algebraicas.

DESPEJE DE ECUACIONES

Para despejar ecuaciones de primer grado deberemos seguir estos pasos:

    

   Reconocer que X es la variable o valor desconocido el cual hay que despejar y calcular. (puede ser cualquier otra letra)

 

   Tenemos que recordar que todos los términos que están multiplicando en un lado, pasan al otro lado del igual dividiendo y los que están dividiendo pasan al otro lado del igual multiplicando. En cuanto a los términos que están sumando pasan al otro lado del igual restando y los que están restando pasan al otro lado del igual sumando.

      Despejar una variable es dejarla sola a un lado del igual con parte numérica 1 y signo positivo 

Ejemplo 1:  Tenemos esta ecuación:     2X + 3 = 13    

                              2X = 13 – 3         Como el 3 está sumando pasa a restar al otro lado quedando                    2x = 10              Hacemos la resta de los términos semejantes            

                                X = 10/2                Necesitamos dejar  la X sola, entonces pasamos el 2 que está                                                                   multiplicando a X, a dividir al 10 y queda así  

                                    X= 5                     De este modo ya tenemos el resultado 

          PRUEBA.  Se reemplaza el valor de la x por 5 y nos quedaría

                                     2(5) + 3  = 13       se resuelva

                                     10 + 3  =  13

                                       13 = 13 

 

 En muchas disciplinas como Física, Química, Economía se tienen fórmulas en que se requiere despejar una variable También en la propia Matemática se necesita en el desarrollo de algunos procedimientos.

Ejemplo2:

 

       Despejar F en

        
Solución
Nos podemos saltar el paso de los paréntesis al observar que la fracción está multiplicando todo el resto del lado derecho, pasa a dividir al otro miembro.
        

PERIMETRO Y AREA

PERIMETRO: El perímetro de una figura plana corresponde a la longitud total del contorno de dicha figura. Si la figura es un polígono, su contorno estará formado por lados rectos y el perímetro será la suma de las longitudes de cada uno de estos lados, esto es válido para cualquier tipo de polígono. 

 

Perímetro de un cuadrado = L+L+L+L= 4L

            Perímetro de un Rectángulo= L+L+A+A = 2L + 2A            (L: Largo   A: Ancho) 

Perímetro de una circunferencia = 2πr

AREAS:  El Área de una figura geométrica es el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura. Para calcular el área de algunas de las figuras geométricas utilizamos una serie de fórmulas.

 

Área de un rectángulo= Base* Altura

Área de un triángulo = Base * Altura

                                          2

Área del cuadrado = Lado * Lado

 Área de un círculo= πr²

En esta figura, el área corresponde a la suma de dos Áreas (un cuadrado y un rectángulo)

EJERCICIOS DE CALCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

DIVISIÓN SINTETICA

 La división sintética es un método rápido y exacto que se puede utilizar para dividir una función polinómica por un binomio de la forma   x-c 

Ejemplo:

Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir 

 

Paso 1:  Comience la división sintética colocando los coeficientes del dividendo y el valor de c=-1 (con signo contrario) si falta algún término en este caso el de x² se le coloca de coeficiente 0 y quedan completos desde x⁵  hasta x^o así:

Paso 2:  Baje el coeficiente principal a la tercera fila

Paso 3:  Multiplique -1 por el coeficiente principal 8 (este resultado se coloca debajo del segundo coeficiente

Paso 4:  Sume los elementos de la segunda columna (recuerde signos iguales se suman y contrarios se restan).

Paso 5:  Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante -6

Ya tenemos el cociente: (Le agregamos las letras empezando desde x⁴ siempre el exponente un número menos que al iniciar el ejercicio)

DIVISION DE POLINOMIOS

DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

 

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan las mismas bases es decir; restando los exponentes

 

División de un polinomio por un monomio: Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del divisor.

 

  En la División de un polinomio entre otro polinomio:

Ten en cuenta las siguientes pautas:

1. Los polinomios el dividendo y divisor deben estar ordenados en forma descendente.

 

 

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente.

                                              

 3. El primer término del cociente se multiplica por cada término del divisor y se les cambia de signo,

     lo colocamos debajo del dividendo con su correspondiente término semejante.

                                                                            

 4.  Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtiene el 

      segundo término del cociente.           

5. Se procede como el paso número 1.                            

       6.  Se procede la operación hasta llegar a la última columna del dividendo.

 

 

 

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

FORMA VERTICAL         

ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

ANGULO CENTRAL Es un tipo de ángulo cuyo vértice es el centro O de una circunferencia, y cuyos lados son dos radios correspondientes a dos puntos distintos de la circunferencia A y B. La medida del ángulo central es la misma del arco de circunferencia que cortan sus lados.
ANGULO INSCRITO Se llama Ángulo inscrito en una circunferencia, a cualquier ángulo cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados son secantes a la misma. Su medida es la mitad del arco de la circunferencia que cortan sus lados.
ANGULO SEMI-INSCRITO Se llama Ángulo Semi-inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo que tenga su vértice en la circunferencia, Un lado es una recta secante y el otro una recta tangente.
ANGULO INTERIOR Es el ángulo cuyo vértice está en la parte interior de la circunferencia, es decir, que la distancia del vértice al centro de la circunferencia es menor que el radio. El valor de un ángulo interior es igual a la semisuma de los ángulos que comprenden él mismo y su opuesto.
ANGULO EXTERIOR Es el ángulo que tiene su vértice fuera de la circunferencia, es decir que la distancia del vértice al centro es mayor que el radio de la circunferencia; y sus lados son secantes a la circunferencia. El valor de un ángulo exterior es la semi-diferencia de los arcos que abarca:
ANGULO CIRCUNSCRITO Su vértice es un punto en el exterior de la circunferencia, sus lados son dos rectas tangentes a la circunferencia. Su medida es la semi-diferencia de los arcos de la circunferencia que cortan sus lados.

LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS 1. Centro En la figura, el centro de la circunferencia es «O» y es aquel punto que equidista de todos los puntos de la Circunferencia.   2. Radio El Radio es la distancia equidistante del centro a cualquier punto de la circunferencia. Observe en la figura que el radio tiene longitud «r». Por ejemplo, el radio son los segmentos: OE, OC, OA, OB o todo segmento que se traza desde el centro a un punto de la circunferencia.   3. Cuerda La cuerda es aquel segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia, en la figura mostrada las cuerdas son: MN, AB y PS.       Propiedad:       » Todo radio perpendicular a una cuerda es bisecada en su punto medio»          En la figura: OC ⊥ MN          Entonces   MD = DN 4. Diámetro El diámetro es un elemento importante de la circunferencia, se determina cuando una cuerda pasa por el centro. Observe la figura: El diámetro es igual a dos radios D=2r El diámetro es la cuerda máxima de una circunferencia. También se cumple que el diámetro divide a una circunferencia en dos medidas iguales a 180°, pues se conoce que toda la circunferencia mide 360°.

5. Arco El arco es una parte (pedazo) de la circunferencia, por ejemplo: en la figura inicial un arco puede ser limitado por dos puntos: «P» y «S» y su notación es:      6. Recta Secante es aquella recta que corta a la circunferencia en dos puntos. En la figura superior la recta secante es Rs, pues corta a la circunferencia en los puntos: P y S. 7. Recta Tangente La recta tangente es aquella recta que corta a una circunferencia en un punto, a dicho punto se le conoce como punto de tangencia. En la figura superior la recta tangente es Rt, pues corta a la circunferencia en el punto T.        Teorema:        «Por un punto de la circunferencia sólo pasa una recta tangente».       Propiedad: El radio que se traza al punto de tangencia, siempre forma un ángulo de 90° con la recta tangente. Observe la siguiente figura: Hay tres puntos tangentes: A,B, C