SUCESIONES O PROGRESIONES ARITMETICAS

 SUCESIONES ARITMETICAS

Es una sucesión de números reales tales que la diferencia de cualquier par de términos consecutivos es constante (siempre es igual al mismo valor). La sucesión  es aritmética de diferencia d si cumple que para todo n,  a_n+1 – a_n = d 

Ejs:  la Sucesión 3,5,7,9,11,13…. Es aritmética   porque 5-3 =2;    7-5 = 2;     9-7=2;    en todos siempre dá 2

Si el primer término a1 y la diferencia d son conocidos, entonces,  El término general de la sucesión aritmética es an = a1 + (n-1)d

Suma de n términos en una sucesión aritmética Conociendo el primer término y el término n-ésimo de la sucesión, podemos calcular la suma de los n primeros términos con la fórmula

 

 

SUCESIONES

Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos, que se designan con una letra y un subíndice que se corresponde con el lugar que ocupan. Los números a₁, a₂ , a₃ , ... se llaman términos de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

Ejs:  1,3,5,7 …   cuyo término general es:   a_n = 2n – 1

Por el término general  (Reemplazamos la n por los números naturales 1,2,3,4,….)

Ejs1:          a_n = 2n – 1                                                     Ejs2:          a_n = 5n + 1

a₁ = 2 · 1 – 1 = 1                                                                                a₁ = 5 · 1 + 1 = 6

a₂ = 2 · 2 – 1 = 3                                                                               a₂ = 5 · 2 +1 = 11

a₃ = 2 · 3 – 1 = 5                                                                               a₃ = 5 · 3 + 1 = 16

a₄ = 2 · 4 – 1 = 7                                                                               a₄ = 5 · 4 + 1 = 21

CLASIFICACION DE ANGULOS

 

CLASIFICACION DE ANGULOS

 

Según su magnitud, los ángulos se clasifican en:

 

Ángulos Rectos: Su magnitud es de 90^o y se denota con un pequeño rectángulo en el vértice

Ángulo Agudo: Su magnitud es menor de 90^o

Ángulo Obtuso: Su magnitud es mayor que 90^o sin llegar a 180^o

Ángulo Colineal o llano: Se magnitud es igual a 180^o

Ángulo Entrante: Su magnitud es mayor que 180^o sin llegar a 360^o

Ángulo Perígono: Su magnitud es igual a 360^o

Según su posición, los ángulos se clasifican en:

Ángulos Consecutivos: Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado común y están en un mismo plano

Ángulos Complementarios: Son  dos ángulos que suman 90^o

Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos que suman 180^o

Ángulos Conjugados: Son dos ángulos que suman 360^o

Ejs.  El ángulo conjugado de 120^o  es  240⁰

 

         Ya que si sumamos 120^o + 240^o = 360^o

 

Ángulos y sistemas de Medición

 

Un ingeniero que estudia el funcionamiento de un ascensor, ubica una cámara a nivel del piso, la cual enfoca al ascensor (ver figura). El movimiento de la cámara para seguir el ascensor describe un ángulo.

Recuerde que la unión de dos rayos OA y OB con un origen común O se define como ángulo de Vértice O y lados OA y OB. Si el giro que realiza el lado inicial para llegar al lado terminal es en contra del movimiento de las manecillas del reloj, el ángulo se dice positivo, en caso contrario el ángulo se llama negativo

PARTES DE UN ANGULO

ANGULO EN POSICIÓN NORMAL

Un ángulo se encuentra en posición normal, si su vértice coincide con el origen del plano cartesiano, y su lado inicial coincide con el eje X positivo

Un ángulo se genera cuando una de las semirrectas unidas en un punto (llamado vértice) tiende a girar hasta formar un ángulo de 360^o sobre uno de sus extremos, si gira en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj se toma como ángulo positivo. 

Si el ángulo gira en el mismo sentido que las manecillas del reloj, se toma como ángulo negativo.

ANGULOS COTERMINALES

Son los ángulos en posición normal donde coinciden sus lados terminales

SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS

 

Los sistemas de medición para ángulos más usuales son el sistema sexagesimal y el sistema circular. En el sistema sexagesimal se emplean como unidad de medida los grados, minutos y segundos, mientras que en el sistema circular se emplea el radian.

Para medir un ángulo en el SISTEMA SEXAGESIMAL, se considera la circunferencia, con cualquier radio, dividida en 360 partes iguales y a cada parte se llama grado(^o). Para mejora la exactitud de la medida, se divide un grado en 60 partes iguales llamadas minutos (‘) y a su vez, cada minuto se divide en 60 partes iguales, a las que se les llama segundos (“)

Un ángulo de un grado (1^o) equivale a  de vuelta. Además, 1^o=60’  y 1’=60”

 

Ejs: Un ángulo de un cuarto de vuelta equivale a 90^o como se muestra en la figura. Notemos que se usa la igualdad de 1 vuelta = 360^o

SISTEMA CIRCULAR O RADIAL: Se denomina radian al ángulo que se forma cuando la longitud del arco barrido es igual al radio de la circunferencia

CORRESPONDENCIA ENTRE LOS DOS SISTEMAS ANTERIORES

Podemos establecer una correspondencia entre los dos sistemas.

 360°   =   2 p rad.

 180^o   =    p rad.

RADICACIÓN EN LOS NUMEROS REALES

 

La Radicación es una operación inversa a la potenciación, porque se calcula la base dados la potencia y el exponente, es decir, dados a y b números reales y n es un número entero positivo

  si tenemos:

Ejemplos 1:

ejemplo 2:

LA POTENCIACION EN LOS REALES

EJEMPLOS:

Ejercicio 2

FUNCION LOGARITMICA

 

                     La función logarítmica es inversa de la función exponencial, es esta hay que hallar el exponente al                           que debe elevarse la base a, para que dé como resultado de x.

                          El dominio es el intervalo (0, ∞) es decir, solo se puede calcular en valores positivos. Su rango es                              el  conjunto de los números reales.

FUNCION EXPONENCIAL

 

ECUACION CUADRATICA

 

EJEMPLO DE ECUACION CUADRATICA

FUNCION CUADRATICA

 

FUNCION CUADRATICA

Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma        
                                                         

siendo a≠0.

Esta forma de escribir la función se denomina forma general.

La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.

 

  Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a<0) o un mínimo (si a>0). Este punto es el vértice de la parábola.

La primera coordenada del vértice es: 

Y la segunda coordenada es su imagen: 

Ejemplos de grafica de parábolas desplazadas

CLASES 2021

NUMEROS IRRACIONALES

 

CLASES DE DECIMALES

 

Decimal Exacto: Son aquellos cuyas cifras decimales son finitas

 Decimal Periódico Puro: La parte decimal, llamada periodo, se repite infinitamente.

 

 

Decimal Periódico Mixto :  Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y una parte periódica o período.

Decimal No exacto No periódico: No se repiten las cifras decimales, pero si son infinitas, llamados también NUMEROS IRRACIONALES, NO SE PUEDEN EXPRESAR DE LA FORMA  a/b