Una ecuación es una igualdad que tiene una o más
cantidades desconocidas, llamadas incógnitas: Por ejemplo expresiones como:
La solución de una ecuación es el
valor numérico por el cual se puede reemplazar la incógnita para que la
igualdad sea verdadera. Para resolver ecuaciones, se realiza transposición de
términos, que no es más que la aplicación sucesiva de la propiedad uniforme de
las igualdades. Las ecuaciones pueden tener paréntesis para indicar productos
entre expresiones algebraicas y algunos coeficientes racionales pueden estar en
fracción o en decimales. La situación problemática también puede originar
cocientes entre expresiones y el uso de la adición o de la sustracción entre
productos o cocientes de expresiones algebraicas.
DESPEJE DE ECUACIONES
Para despejar ecuaciones de primer grado
deberemos seguir estos pasos:
Reconocer que X es la variable o valor
desconocido el cual hay que despejar y calcular. (puede ser cualquier otra
letra)
Tenemos que recordar que todos
los términos que están multiplicando en un lado, pasan al otro lado del
igual dividiendo y los que están dividiendo pasan al otro lado del igual
multiplicando.En cuanto a los términos que están
sumando pasan al otro lado del igual restando y los que están restando pasan al
otro lado del igual sumando.
Despejar una variable es dejarla sola a un lado del igual con parte numérica 1 y signo positivo
Ejemplo 1: Tenemos esta ecuación: 2X + 3 = 13
2X = 13 – 3 Como el 3 está sumando pasa a restar al otro lado
quedando 2x = 10 Hacemos la resta de los términos semejantes
X = 10/2 Necesitamos dejar la X sola,
entonces pasamos el 2 que está multiplicando a X, a dividir al 10 y queda así
X= 5 De este modo ya tenemos el
resultado
PRUEBA. Se reemplaza el
valor de la x por 5 y nos quedaría
2(5) +
3 = 13 se resuelva
10 +
3 =
13
13 = 13
En muchas disciplinas como Física, Química, Economía se tienen fórmulas en que se requiere despejar una variable También en la propia Matemática se necesita en el desarrollo de algunos procedimientos.
Ejemplo2:
Despejar F en
Solución Nos podemos saltar el paso de los paréntesis al observar que la fracción está multiplicando todo el resto del lado derecho, pasa a dividir al otro miembro.
PERIMETRO:
El perímetro de una
figura plana corresponde a la longitud total del contorno de dicha figura. Si
la figura es un polígono, su contorno estará formado por lados rectos y el perímetro será la suma de las longitudes
de cada uno de estos lados, esto es válido para cualquier tipo de
polígono.
Perímetrode un cuadrado = L+L+L+L= 4L
Perímetro de un Rectángulo= L+L+A+A = 2L + 2A(L: LargoA: Ancho)
Perímetro de una circunferencia = 2πr
AREAS:El Área de una figura geométrica es
el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura. Para calcular el área de algunas de las figuras geométricas utilizamos
una serie de fórmulas.
Área de un rectángulo= Base* Altura
Área de un triángulo = Base * Altura
2
Área del cuadrado = Lado * Lado
Área de un círculo= πr2
En esta figura, el área corresponde a la suma de dos Áreas (un cuadrado y un rectángulo)
La
división sintética es un método rápido y exacto que se puede utilizar para
dividir una función polinómica por un binomio de la formax-c
Ejemplo:
Use la
división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir
Paso 1: Comience la división sintética
colocando los coeficientes del dividendo y el valor de c=-1 (con signo
contrario) si falta algún término en este caso el de x2 se le coloca
de coeficiente 0 y quedan completos desde x5hasta xo así:
Paso 2: Baje el coeficiente principal a la tercera
fila
Paso 3: Multiplique -1 por el coeficiente
principal 8 (este resultado se coloca debajo del segundo coeficiente
Paso 4: Sume los elementos de la segunda columna (recuerde
signos iguales se suman y contrarios se restan).
Paso 5: Luego repita el
paso 4 hasta que se llegue al término constante -6
Ya tenemos el cociente: (Le agregamos las letras
empezando desde x4 siempre el exponente un número menos que al
iniciar el ejercicio)
La división de
monomios es otro monomio que
tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se
obtiene dividiendo las potencias que tengan las mismas
bases es decir; restando los exponentes
División de un polinomio
por un monomio: Para dividir
un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del
dividendo entre el término del divisor.
En la División de un polinomio entre otro polinomio:
Ten en cuenta las siguientes pautas:
Los
polinomios el dividendo y divisor deben estar ordenados en forma
descendente.
Se divide el primer
término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el
primer término del cociente.
3. El primer término del
cociente se multiplica por cada término del divisor y se les cambia de
signo,
lo colocamos debajo del dividendo con su correspondiente término
semejante.
4. Se divide el primer
término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se
obtiene el
segundo término del cociente.
Se procede como el
paso número 1.
6. Se procede la
operación hasta llegar a la última columna del dividendo.
Es un tipo de ángulo cuyo vértice es el centro O de una circunferencia, y cuyos lados son dos radios correspondientes a dos puntos distintos de la circunferencia A y B. La medida del ángulo central es la misma del arco de circunferencia que cortan sus lados.
ANGULO INSCRITO
Se llama Ángulo inscrito en una circunferencia, a cualquier ángulo cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados son secantes a la misma.
Su medida es la mitad del arco de la circunferencia que cortan sus lados.
ANGULO SEMI-INSCRITO
Se llama Ángulo Semi-inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo que tenga su vértice en la circunferencia, Un lado es una recta secante y el otro una recta tangente.
ANGULO INTERIOR
Es el ángulo cuyo vértice está en la parte interior de la circunferencia, es decir, que la distancia del vértice al centro de la circunferencia es menor que el radio. El valor de un ángulo interior es igual a la semisuma de los ángulos que comprenden él mismo y su opuesto.
ANGULO EXTERIOR
Es el ángulo que tiene su vértice fuera de la circunferencia, es decir que la distancia del vértice al centro es mayor que el radio de la circunferencia; y sus lados son secantes a la circunferencia. El valor de un ángulo exterior es la semi-diferencia de los arcos que abarca:
ANGULO CIRCUNSCRITO
Su vértice es un punto en el exterior de la circunferencia, sus lados son dos rectas tangentes a la circunferencia.
Su medida es la semi-diferencia de los arcos de la circunferencia que cortan sus lados.
En la figura, el centro
de la circunferencia es «O» y es aquel punto que
equidista de todos los puntos de la Circunferencia.
2. Radio
El Radio es la distancia equidistante del centro a
cualquier punto de la circunferencia. Observe en la figura que el radio tiene
longitud «r».
Por ejemplo, el radio son los
segmentos: OE, OC, OA, OB o todo segmento que se traza desde el centro a un
punto de la circunferencia.
3. Cuerda
La cuerda es
aquel segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia, en la figura
mostrada las cuerdas son: MN, AB y PS.
Propiedad:
» Todo radio perpendicular a una cuerda
es bisecada en su punto medio»
En la
figura: OC ⊥ MNEntoncesMD = DN
4. Diámetro
El diámetro
es un elemento importante de la circunferencia, se determina
cuando una cuerda pasa por el centro. Observe la figura:
El diámetro es igual a dos
radios D=2r
El diámetro
es la cuerda máxima de una circunferencia. También se cumple que el
diámetro divide a una circunferencia en dos medidas iguales a 180°, pues
se conoce que toda la circunferencia mide 360°.
5. Arco
El arco es una parte (pedazo) de la circunferencia,
por ejemplo: en la figura inicial un arco puede ser limitado por dos puntos:
«P» y «S» y su notación es:
6.Recta Secante es aquellarecta que corta a la circunferencia en dos puntos. En la figura
superior la recta secante es Rs, pues corta a la circunferencia en los puntos:
P y S.
7. Recta Tangente
La
recta tangente es aquella recta que corta a una circunferencia en un punto, a
dicho punto se le conoce como punto de tangencia. En la figura superior la
recta tangente es Rt, pues corta a la circunferencia en el punto T.
Teorema:
«Por un punto de la
circunferencia sólo pasa una recta tangente».
Propiedad:
El
radio que se traza al punto de tangencia, siempre forma un ángulo de 90°
con la recta tangente. Observe la siguiente figura:
