SOLIDOS AREAS Y VOLUMENES

CILINDRO

Es un cuerpo geométrico o sólido cuya cara lateral  es curva y sus bases son circulares.

El  área lateral del cilindro es igual a la longitud de la circunferencia por la altura

Y el área total es igual al Área lateral mas el área de las dos bases

                            

Ejemplo:

Consideremos un cilindro de 4 cms de radio y 10 cms de altura, hallar el volumen

  

CONO

En Geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo, alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.

El volumen de un cono es :

  

El área lateral del cono 

Por lo tanto, la fórmula del área total del cono será:  

Ejemplo:

 

Para una fiesta, Carol ha hecho 20 gorros de cartón de forma cónica. Cuánto habrá utilizado, si las medidas del gorro son 16 cm de radio por 25 de cm de generatriz.

ESFERA

 

VOLUMEN DE UNA PIRAMIDE

La fórmula para hallar el volumen de una pirámide, se expresa como:

               A= Area de la Base

                                           h= Altura

Ejemplo:

Consideremos una pirámide con una altura de 5 centímetros y una base de 3 centímetros por 3 centímetros.

Para calcular el área de la base de la pirámide, utilizamos la fórmula para el área de un cuadrado:

A= L.L

A= 3cm * 3cm

A= 9 cm2

Para hallar el volumen de la pirámide, utilizamos la fórmula:

Sustituyendo valores y realizando los cálculos, tenemos que:

El volumen de la pirámide es de 15 centímetros cúbicos.

PRODUCTOS NOTABLES

BINOMIO  DE SUMA O RESTA AL CUADRADO

Es la multiplicación de un binomio por su mismo, expresada en forma de potencia, donde los términos son sumados o restados:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b) =  a² + 2 · a · b + b²

(a - b)2 = (a - b) * (a - b) =  a^{2 -} 2 · a · b + b²

Binomio de suma al cuadrado: Es igual al cuadrado del primer término, más o menos (según el signo) el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. 

Ejemplo 1

(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5)² = x² + 10x+ 25

Ejemplo 2:

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2

                 = 4x2 − 12 x + 9

BINOMIO DE SUMA O RESTA AL CUBO

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 +b3

(a - b)3 = a3 - 3 · a2 · b + 3 · a · b2 - b3

Un binomio al cubo (suma o resta) es igual al cubo del primero, mas el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. Nota : Si es resta los signos van intercalados empezando por positivo.

Ejemplo 1

(2x + 3)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 + 33 =

= 8x 3 +36 x2 + 54 x + 27

Ejemplo 2:

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (Binomios conjugados) 

En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término

Ejemplo1

Ejemplo2

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen un término en común. La regla indica lo siguiente:

• El cuadrado del término común.
• Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.
• Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

Ejemplo1

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Ejemplo2

(7x + 4) * (7x – 2) = (7x * 7x) + (4 – 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + (2)* 7x – 8

(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + 14x – 8.

VOLUMEN DE UN PRISMA

SOLIDOS

MULTIPLICACION DE POLINOMIO POR POLINOMIO

3. Multiplicación de Polinomio por Polinomio

Se aplica la propiedad distributiva 

Esto es, se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio y luego se reducen términos semejantes (suma o resta)

Método Vertical

Este es un método clásico donde los factores se multiplican colocando el desarrollo verticalmente y no de manera horizontal o lineal para todo el desarrollo, veamos el siguiente ejercicio para la multiplicación de los siguientes polinomios: 

 

 

 

 

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

1. Monomio por Monomio

 1. El primer paso al multiplicar un monomio por otro monomio es  tener en cuenta la  ley de signos, multiplicar los signos de cada uno de los términos, es decir, de los monomios.

2. En segundo lugar, los valores de cada uno de los coeficientes que se pueden observar en los términos se  multiplican.

3. Al valor encontrado en la multiplicación de coeficientes se le agrega la parte literal encontrado en los monomios, si son de la misma base recuerde que los exponentes se suman y se le agregan aquellas letras de diferente base con el exponente que tengan

así tendríamos:

 

2. Monomio por Polinomio

Se aplica la propiedad Distributiva; es decir el monomio por cada término del polinomio 

quedando así:

Ver video ejemplo